В)производная частного двух функций (U и V) вычисляется по формуле




,

в предположении, что производные U и Vсуществуют и V≠0.

Например,

в)производная степени xα

(xα)'=αxα -1.

Например, (5x8)'= 5(x8)' = 40x7.

 

2.Производная функции в точке

Чтобы вычислить производную функции в точке, надо:

1.Найти производную функции по правилам.

2. В найденную производную подставить данное значение аргумента.

Например:

Найдите f'(2), если f(x) =3 x5.

1. f'(x)=(3x5)'=15x4

2. f'(2)=15∙24=240.

3.Производная сложной функции

Производная сложной функции f'(g(x)) равна производной промежуточной функци (y=g(x)), умноженной на производную функции (f'(y)).

 

f'(g(x)) = f'(y) g'(x).

Чтобы найти производную сложной функции, надо:

1.Определить функцию f(y);

2. Определить функцию y =g(x);

3. Найти f'(y) g'(x).

Замечание 3.1

f'(kx+b) =kf'(y), y=kx+в

Например:

Найдите ((1-3x)4)'

1.f(y) = y4

2.y=1-3x

3. 4(1-3x)3 (1-3x)' = -12(1-3x)3.

4.Производная тригонометрических функций

(sinx)'=cosx; (cosx)'= - sinx; tgx = ; ctgx= .

Например, sin'(4x+7)=4cos(4x+7).

 

Примеры

Найдите производную функции а) f(x) = (2x +5)4; б) f(x) = (3x2 -7)(4x2+9);

в) f(x) = ; г) f(x) =3cos(2x-1); д) f(x) = .

Решение

а)Функция f(x) = (2x +5)4 сложная, вида f(kx+b). Найдем ее производную по замечанию 3.1:

 

((2x +5)4)' = 2∙4(2x+5)3 =8(2x+5)3.

 

б) Найдем производную функции (3x2 -7)(4x2+9) по правилу нахождения

 

производной произведения:

 

((3x2 -7)(4x2+9))' = (3x2-7) '(4x2+9) + (4x2+9)'(3x2-7) =6x(4x2+9) +8x(3x2-7) =

=24x3 -2x.

 

в) Найдем производную функции по правилу нахождения

 

производной частного:

 

 

 

г) f'(x) =(3cos(2x-1))'= 3(cos(2x-1))', (постоянный множитель можно выносить за знак производной), далее 3(cos(2x-1))' = -3∙2sin(2x-1),

(производная cosy = - siny и f'(kx+b) = kf'(y), поэтому возникает коэффициент 2). Окончательно имеем: f'(x) = -6sin(2x-1).

д) f'(x) = ()' = ((6x-7)0,5)' =0,5∙6(6x -7)0,5-1 =3(6x -1)-0,5,

для нахождения этой производной выполнили следующее:

1. представили квадратный корень в виде степени с показателем 0.5;

2. применили формулу для отыскания производной степени ((уt)'=tyt-1);

3. использовали замечание 3.1(появился множитель 6).

 

Наиболее часто встречающиеся ошибки

 

!Проверь, не делаешь ли ты так!

 

1.(1-2x)'≠ 2, верно будет так: (1-2x)'=-2.

2. (x-3)' ≠-3x-2, правильно будет так: (x-3) ' = -3x – 4.

3. sin' (3x-8) ≠ cos(3x-8), правильно будет так: sin'(3x-8) = -3cos(3x-8).

4. правильно будет так: = (x-0,5)' = - 0,5x -1,5 = .

 

Контрольный тест

 

1.Найдите производную функции:

а) f(x) = 3 +4x3;

б) f(x) =

в) f(x) = tg(2x+1) – x;

г) f(x) =(-x3 -2)(1- x4).

 

2. Вычислите f'(x0), если f(x) = (2x-8)5, x0 = 3;

 

3. Решите неравенство: f'(2) >x-5, если f(x) = sin(2x-4).

 


Тема5 Применение производной к решению задач

 

Проверочный тест:

 

1. Найдите промежутки монотонности функции y = x3-27x.

2. Найдите точки экстремума функции y = x3-27x.

3. Исследуйте функцию y = x3-3x2 на монотонность и экстремумы.

4. Исследуйте функцию y = 0,75x4 – x3 –3x2 и постройте ее график.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

f(x) = – 2x3 –3x2 +4 на промежутке [-2; -0,5]

6. Прямолинейное движение точки задано уравнением

s(t) = 2t2 -8t -10 (s в метрах, t в секундах)

Найдите скорость движения в момент времени, равный 8 с.

7. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к

графику функции у = x2 в точке с абсциссой x0 = 0,5.

8. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции

y = x3+1 в точке (1; 2).

 

Ответы:

1. На промежутках (- ; -3] и [3; ) функция возрастает, на промежутке

[-3; 3] функция убывает.

2. x= -3 – точка максимума, x=3 –точка минимума.

3. На промежутках (- ; 0] и [2; ) функция возрастает, на промежутке

[0; 2] функция убывает, x= 0 – точка максимума, x =2 –точка

минимума.

4.

5. Наибольшее значение функции равно 8, наименьше значение функции

равно 3.

6.24м/c.

7. 45˚.

8. y = 3x – 1;

 

Улучшите свои знания

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: