!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. 
, правильно будет: 
.
2. 
при a <0, правильно будет: 
.
3. 
при a<0 и b<0, правильно будет: 
4. 
, правильно будет 
.
Контрольный тест
1.Решите уравнение:
а) 
б) 
в)x4 =7; г) x5 =5.
2.Упростите выражение:
.
3.Сравните значения выражений:
и 
.
Свойства корня n- ой степени в таблицах(10) 
| № | Свойство | Применение | Примечание | Пример |
 , n- натуральное, большее единицы.
| Вычисление значений выражений, решениe иррациональных уравнений | Если n – нечетное, больше 1, то a может принимать отрицательные значения. | 
| |
 ,
m и к, целые, к >0, n- натуральное, большее единицы.
| В тождественных преобразованиях, при вычислении значений выражений. | Если m и n нечетные, то может произойти сужение области определения выражений при переходе от левой части равенства к правой. | 
| |
 a ≥0; b≥0.
| В тождественных преобразованиях, при вычислении значений выражений. | При a<0 и b<0, справедливо  ,где n- натуральное число.
|
| |
 a ≥0; b>0.
| В тождественных преобразованиях, при вычислении значениий выражений. | При a<0 и b<0, справедливо  ,где n- натуральное число
| 
| |
 для любых натуральных m и к, неотрицательного числа a.
| В тождественных преобразованиях, при вычислении значениий выражений. | Для нечетных показателей степени и корня число a может быть отрицательным | 
| |
 , для любых натуральных n и к, неотрицательного числа a.
| В тождественных преобразованиях, при вычислении значениий выражений. | Показатели корня могу быть только натуральными числами | 
    Ø
| |
Для любого действительного числа a и для n – четного верно равенство:
| В тождественных преобразованиях, при решении уравнений и неравенств. | Если показатель степени – нечетное число, то верно равенство  .
|  
| |
Для любого неотрицательного числа a и натурального n верно равенство:
| В тождественных преобразованиях, при решении уравнений и неравенств. | Если показатель степени – нечетное число, то верно равенство , при любом действительном a.
|  ,
| |
| В тождественных преобразованиях, при решении уравнений и неравенств | Целесообразно применять, если a2 –b есть полный квадрат | 
|
|
|
Тестовые задания: свойства корня n- ой степени(11)
| № | Задания | Ответы |
Вычислите значение выражения 
| а) 4; б) 8; в) 1; г) 2. | |
Вычислите значение выражения 
| а) 5; б)  ; в) 25; г) 
| |
Упростите выражение 
| а) 5a5; б) 2|a|5 + 3a 5 ; в) 2|a|5 - 3a 5 ; г) a 5 . | |
Результат упрощения выражения: 
| а)  ; б) 4; в)1; г)2;
| |
| а))8; б) 4; в)1; г) 0,5; | |
Результат упрощения выражения
|  ; б)  ; в) 1; г) 2 .
| |
Результат упрощения выражения 
равен
| а) +  ; б) +  ; в) 2; г) 2  .
| |
Равенство  верно при:
| а) x = 2; б) x = 0; в) x = -3; г) x = 3,5 | |
Равенство  верно при:
а) х = -111; б) х = -1; в) х = 0; г) х = 25.
| а) х = -111; б) х = -1; в) х = 0; г) х = 25. | |
Равенство  верно при:
| а) x = -2; б) x = 5,2; в) x = 0, 2; г) x = 1,44; | |
Если  , то значение выражения  равно:
| а) 0,4; б) 5,2; в) - 4; г) 2,5 | |
Значение выражения  равно
| ||
| Значение выражения равно
| 1)  ;2)0
2) 1; 3) 6; 5)
| |
Если a >2, то результат упрощения выражения  равен
| 1) 
| |
Вычислите 
| 1)4  ; 2)22;
3)-22; 4) -4 ; 5)0.
| |
Результат упрощения выражения 
| 1)4с-2 d8; 2) 4d8; 3) с-2 d8; 4) с-2 d8; 5) с2 d 4;. | |
Значение числового выражения  равно
| 1)8  -20; 2)20;
3)-40; 4) -4  ; 5)0.
| |
Значение выражения  равно
| 1)  ;2)0;
3)  ; 4)2 ;
5)- 
| |
Значение выражения  равно
| 1)  ;2)0;
3)  ; 4)2  ;
5) 
| |
Значение выражения  равно
| 1)  ;2)0;
3)  ; 4)-  ;
5) 
| |
Если  , то значение выражения  равно
| 1)1/3;2)2/3; 3)-2/3; 4)1/6; 5)5/6. | |
Результат упрощения выражения  равен
| 1) ;2)0;
3) ; 4) ;
5)
| |
Результат упрощения выражения  равен
| 1) ;2)0;
3) ; 4)3 ;
5)
| |
Если 1≤x≤2, то значение выражения  равно
| 1)  ;2)0;
3)  ; 4)5 ;
5)2.
| |
Результат упрощения выражения  равен
| 1)4 ; 2)14;
3)4; 4) -4; 5)0.
| |
Результат упрощения выражения 
равен
| 1)  ;2)0;
3)  ; 4) +5;
5) +5
| |
Результат упрощения выражения 
равен
| 1)4 ; 2)14;
3)4; 4) ; 5)0.
| |
Результат упрощения выражения  равен:
| 1) ; 2)  ; 3) 2,125; 4) 2; 5.
| |
Результат упрощения выражения  равен
| 1) ; 2) ; 3) 2; 4)  ; 5.1.
| |
Результат упрощения выражения
 равен
| 1) ; 2) ; 3) 2; 4) ;5. .
| |
Результат упрощения выражения
 равен
| 1) ; 2) ; 3) 2 ; 4) ;5. .
| |
Результат упрощения выражения
 равен
| 1) ; 2) ; 3) 2 ; 4) ;5.3+ .
| |
Упростите выражение 
при b > a/2
| 1)2b; 2)  ;
3) ab 4)2b+a;5. b .
| |
Упростите выражение  при b>0
| 1)2b; 2)  ;
3) ab 4)2b+a;5. b .
| |
Упростите выражение
| 1) ; 2) ; 3) 2; 4)  ; 5. .
| |
Упростите выражение
| 1) ; 2)3; 3) 2; 4) ; 5. .
| |
Результат упрощения выражения
| 1)2b;
2) ;
3) ab;
4)2ax;
5.  .
| |
Результат упрощения выражения
 равен
| 1)2b;
2) ;
3) ab;
4)2ax;
5. .
| |
Результат упрощения выражения
 равен
| 1. 
2. ;
3. ab;
4.2ax;
5.  .
| |
Результат упрощения выражения
 равен
| 1. 
2.  ;
3.  ;
4.3;
5.  .
|
|
|
|
|
Свойства функции 
(12)
| Функции Свойства функции |
, n – четное
| , n – нечетное
|
| Область определения (D) | [0; +∞) | (-∞; +∞) |
| Множество значений(E) | [0; +∞) | (-∞; +∞) |
| Четность или нечетность функции | Нечетная | |
| Знаки функции | Функция неотрицательна на всей области определения | >0, если  ;
<0, если 
|
| Нули функции | x= 0 | x=0. |
| Промежутки возрастания | Функция возрастает на всей области определения | Функция возрастает на всей области определения |
| Промежутки убывания | - | - |
| Наибольшее значение | Не существует | Не существует |
| Наименьшее значение | y = 0 при x =0 | Не существует |
| Графики | 
| 
|
Тестовые задания: свойства функции (13)
| № | Задание | Ответ |
Графику функции y =  принадлежит точка:
| a)(9; 3); b) (16;4) c) (9; -3); d) (16;-4). | |
Значение функции y =
при значении аргумента x = - 4  +9
равно:
| a) - 2 +3;
b) 2 - 3; c) - 2;
d) 2 - ;
| |
| Множество значений функции
y = 2 +5 равно:
| a) (0; + ∞); b) [0; + ∞); c) [5; + ∞); d) (0; 5); e) (5; + ∞); | |
| В облаcть определения функции
y = входят значения аргумента, равные:
|
а)  ;
b)  ; c)  ;
d) 
e)
| |
|
Множество значений функции
y = - 2 +5 равно:
| а) (- ∞; 5]; b) (-∞;0); c) [5; + ∞); d) (-5; 0); e)(- ∞;5); | |
| Возрастающей на множестве всех действительных чисел является функция:
| 
| |
| Убывающей на множестве всех действительных чисел является функция:
| 
| |
| Верным для всех действительных значений переменной x является неравенство: | 
| |
| Верным для всех действительных значений переменной x является неравенство: | 
| |
| Верным для всех значений x из области определения функции f(x) является неравенство f(x+3)>f(x), если: | 
| |
| В облаcть определения функции
y = входят значения аргумента, равные:
| а)  ;
b)  ; c)  ;
d)arcsin(-1/3); e) cos(-2).
| |
Найдите область определения функции 
| а) (- ∞; -5]; b) (-∞;0); c) [-5; + ∞); d) (-5; -3); e)[-5; -3]; | |
| Верным является неравенство: | 
| |
Найдите область определения функции 
| а) (- ∞; -5]; b) (-∞;-3); c) [-5; + ∞); d) (-5; -3); e)[(∞; -3]; | |
Найдите область определения функции 
| а) (- ∞; -5]  ; b) (-∞;-3);
c) [-5; + ∞); d) (-5; -3);
e)(-∞; -3] ;
| |
| Функция является возрастающей на области определения: | a);d) 
| |
Найдите область определения функции
| а) (- ∞; 0) ; b) (-∞;-3);
c) [0;5)  (5; + ∞); d) (-5; -3);
e) (-∞; -3] ;
| |
Найдите область определения функции 
| а) (- ∞; -5]; b) (-∞;-3); c) [-5; + ∞); d) [3; 5]; e)(-∞; -3]; | |
Найдите область определения функции 
| а) (- ∞; -5]; b) (-∞;-3); c) [-5; + ∞); d) [3; 5]; e)[-3;1]; | |
| Найдите множество значений функции
| а)(0;4]; b) (1;2); c) [1; 2); d) [0; 2]; e) [0;1]; |
Решение иррациональных уравнений и неравенств в таблицах (14)
| № | Вид уравнения (неравенста) | Метод решения | Применение | Примечение |
| Если a≥0, то x =a2n; если a < 0, то решений нет. |  
| 
| |
| x= a2n+1 | 
| 
| |
|
Уравнение вида равносильно системе
 .
|
| Уравнение этого вида можно решить, возводя обе части уравнения в степень 2n и последующей проверкой корней подстановкой в данное уравнение   5-x2 = (1-x)2  .
Проверка: x=-1,  равенство верное, значит x=2 – корень данного уравнения.
x=2,  равенство неверное, значит x=2 – не корень данного уравнения.
| |
| Уравнение вида равносильно системе
 .
| 
| Уравнение этого вида можно решить, возводя обе части уравнения в степень 2n и последующей проверкой корней подстановкой в данное уравнение | |
| Уравнение вида 
Равносильно совокупности
|   x=1
| Можно использовать условие равенства нулю произведения нескольких мноожителей | |
| 1.Можно возвести обе части уравнения в квадрат дважды с последующей проверкой. 2.Можно обе части уравнения умножить на выражение, сопряженное левой части. | 1.      . Проверка:
 , значит, x = 4 не корень данного уравнения.  , значит, x = 284 корень данного уравнения.
2.
| Можно применить свойства функций.
Пример: Решить уравнение
 .
 ,
функция y =  - возрастает на области определения, а функция
y= 4+  убывает на области определения. Следовательно, если данное уравнение имеет корень, то только один.
Легко угадывается корень x= 3.
| |
| Можно возвести обе части уравнения в квадрат дважды с последующей проверкой найденых корней | 2 
 Проверка:
Значит, значение x =7 является корнем уравнения.
| Можно использовать свойства функций:
заметим, что функция y =2  возрастает на всей области определения, поэтому, если данное уравнение имеет корень, то только один.
Найдем его среди целых чисел, не больших 7. Как раз 7 – подходит, по теореме о единственности корня – 7 – единственный корень данного уравнения.
| |
| Если f(x) + g(x)=m, то можно сделать замену:
|    
| Если f(x) и g(x), одномонотонные, то уравнение  имеет только один корень, который можно подобрать.
Например,
 .
Функция y=  возрастает на множестве всех действительных чисел, следовательно, уравнение
имеет не более одного корня. Легко определяется,что x= 6
| |
| При a>0 неравенство  равносильно
неравенству
0≤x<a2n
| 
| Неравенство со знаком «больше» справедливо при всех a<0. При a≥0 решениями будут x≥a 2n | |
| Неравенство вида
равносильно следующей совокупности неравенств: 
|    x  (-∞; 1)
| Неравенства такого вида можно решать графически,
 . Для этого построим графики функций
f(x) =  , и g(x) = x.
Решениями неравенства будут те значения x, для которых первый график расположен выше второго, т.е. x  .
| |
| Неравенство вида
равносильно системе
неравенств
| 
 
| 
Неравенство можно решить с помощью графиков функций  и y=x.
| |
| Если a≥0, то
|   
| При a≤0, неравенство справедливо для всех x из области определения функции f(x) | |
| 
| 
| Можно использовать замену данного выражения на знакосовпадающее с ним | |
| Если a≥0, то
|   
| При a<0, неравенство не имеет решения | |
| 
| 
| Можно использовать замену данного выражения на знакосовпадающее с ним. | |
| Можно решить методом интервалов. |  >4.
Найдем нули функции
y = , т.е. решим уравнение =4.
Получим x =3. Эта точка разбивает область определения функции y = , на два промежутка, определим знак функции в каждом из них, получим ответ (3; +∞)
| Если f(x) и g(x), одномонотонные, то можно использовать свойства функций:
заметим, что функция y = возрастает на всей области определения, а при x=3 принимает значение, равное 4, следовательно, для x>3 неравенство будет верным.
| |
| Можно решить методом интервалов. |  < 4,
найдем нули функции
y =  , т.е. решим уравнение = 4
Получим x =12. Эта точка разбивает область определения функции y = , на два промежутка. Определим знак функции в каждом из них, получим ответ [11; 12)
| Если f(x) и g(x), одномонотонные, то можно использовать свойства функций:
заметим, что функция y =  возрастает на всей области определения, а при x=12 принимает значение, равное 4, следовательно, для 11≤x<12 неравенство будет верным.
| |
| Используются неравенства о средних:
1.Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным двух положительных чисел:  a > 0, b>0.
| Решите неравенство
Заметим, что x = 2 – решение данного неравенства. Заменим левую часть неравенства на большее выражения при x > 2. По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным будем иметь:
 
  .
Последнее неравенство
справедливо только при x =2,поскольку это неравенство является следствием данного, то данное неравенство других решений не имеет.
| Решите неравенство
 Равенство достигается при условии равенства слагаемых, т.е. 17-x = 15+x, откуда x =1.
| |
| Использование геометрических моделей |  длина отрезка AB, где A(x;y),
B(a;b)
| Наименьшее(x+y), где (x;y) решение неравенства
 5 ≤  .Геометрическая модель: AB+OB≤ OA. Равенство возможно, если точка A(x;y) принадлежит лучу OA. Наименьшее(x+y) = 4+3 = 7
| |
| Использовать свойства монотонности функции
y= 
| Если функции f(x) - g(x) одномонотонны на общей области их определения, то неравенство будет верным для всех значений переменной, из области определения функции, больших (в случае возрастания функций) и ли меньших (в случае убывания функций), корня уравнения 
|  >5
Заметим, что число x = 9- корень соответствующего уравнения.
Расмотрим функцию f(x) =  (2)
На всей области определения [0; +∞) функция возрастает.
Значит x=9 – единственный корень уравнения, а решение данного неравенства промежуток (9;+∞)
|
Тестовые задания: иррациональные уравннеия и неравенства(15)