Решение логарифмических неравенств

1.Решить неравенство:

Решение

x .

2.Решить неравенство:

Решение

3.Решить неравенство:

Решение

4. Решить неравенство:

Решение

Заметим, что выражение для (, по свойству среднего арифметического и среднего геометрического).

Поэтому данное неравенство равносильно неравенству .

.

5. Решить неравенство

Решение

6.Найти сумму натуральных решений неравенства

Можно решить это неравенство по аналогии с предыдущими неравенствами, используя правила замены выражений на совпадающие с ними по знаку:

Натуральные решения 1; 2; 3. Их сумма равна 6.

Свойства логарифмов в таблице (24)

№	Свойство, определение	Применение	Примечание	Пример
	, где	Для вычисления значений логарифмов	Можно использовать для представления числа в виде логарифма по любому основанию	2= log9 81
	Основное логарифмическое тождество , b>0, a>0, a≠1.	Для упрощения выражений	Можно использовать для представления любого положительного числа в виде степени с любым положительным основанием, отличным от 1	3= 5log5 3
	logab + logac = logabc, где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.	Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах	При переходе от левой части равенства к правой область определения может расшириться.	log210= 1 + log25
	logab - logac = loga (b: c), где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.	Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах	При переходе от левой части равенства к правой область определения может расшириться	lg 2=lg(10:5) 1 - g5
	logabn =nloga b, где b>0, a>0, a≠ 1.	Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах	При переходе от левой части равенства к правой область определения может сузиться	log2(x-2)4 = 4log2|x-2|
	Формула перехода от одного основания логарифма к другому logab= , где b>0, a>0, a≠ 1, с>0, c≠ 1.	Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах	При решении уравнений и неравенств, как правило, следует прейти к одному и тому же основанию логарифма.	log29 = .
	Формула замены основания логарифма на его число logab = , b>0, b ≠1,a>0, a≠ 1,	Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах	Можно использовать неравенство |logab+ |≥2, b>0, a>0, a≠ 1,	log29 = .
	logarx= log a x, x>0, a>0, a .	Для вычислений и преобразований выражений	Для перехода к меньшему основанию логарифма	log 4x= 1/2log 2 x,
	logarxr=log a x, x>0, a>0, a .	Для перехода к другому основанию логарифма, вычислений и преобразваний	При переходе от одной части равенства к другой область определения может измениться
	clogab = blogac, a>0, a , b>0, c>0, b , c .	Для перехода к одному основанию логарифма, при вычислениях, преобразованиях, в решениях уравнений и неравенств	Если равенство содержит переменные, то учесть область определения	=7
	, a>0, a , b>0, b .	Для перехода к одному основанию логарифма при вычислениях, преобразованиях, в решениях уравнений и неравенств	Если равенство содержит переменные, то следует учесть область определения
	logab 2n =2nloga |b|, где b>0, a>0, a≠ 1.	Для преобразований выражений, в уравнениях и неравенствах	Если равенство содержит переменные, то следует учесть область определения	log4 (x-2) 2 =2log4 |x-2|
	(logab >0) ((a-1)(b-1)>0), a>0, a , b>0.	При решении неравенств	Учитывать область определения	(logx (x+4) >0) ((x-1)(x+3)>0), x>0, x , x+4>0.
	(logab <0) ((a-1)(b-1)<0), a>0, a , b>0.	При решении неравенств	Учитывать область определения	(logx (x+4) <0) ((x-1)(x+3)<0), x>0, x , x+4>0.
	logab - logac <0) ((a-1)(b-c)<0), a>0, a , b>0, c >0	При решении неравенств	Учитывать область определения
	logab - logac >0) ((a-1)(b-c)>0), a>0, a , b>0, c >0	При решении неравенств	Учитывать область определения
	logaa = 1, a>0, a ,	При решении уравнений, неравенств	Учитывать область определения	,
	loga1 = 0, a>0, a ,	При решении уравнений, неравенств		log51 = 0, log31 = 0
	logaa n =n a>0, a ,	При решении уравнений, неравенств		log55 4 =4

Тестовые задания: применение свойств логарифмов(25)

№	Задание	Результат
	Расположите в порядке возрастания значения выражений:	a)-1; b) 2; c) ½; d)0; e) -2; f)3 e),a), d),c),b), f).
	Представьте число 3 в виде логарифма по основанию a) 3; b) 2; c) ½; d) 10; e)1/3; f)a	a)3= log 3 27; b) 3= log 2 9; c) 3= log 1/21/8; d) 3= lg1000; e) 3= log 1/31/27; f) 3= log a a3
	Представьте в виде степени: a) с основанием 5 число 2; b) с основанием 6 число 7; c)с основанием 4 число 9; d) с основанием 7 число 15 e) с основанием 10 число 2; f) с основанием 1/2 число 6;	a) b) c) 9 = 4log4 9; d) 15 = 7log7 15; e) 2= ; f) 6=
	Найдите значение выражения	1) ; 2) 25; 3) 6; 4) -5/4; 5) 4;
		1) ; 2) 25;3) 6; 4) -5/4;5) 4;
	;	1) ; 2) 25; 3) 6; 4) -5/4;5) 4;
	;	1) ; 2) 25;3) 6; 4) -5/4;5) 4;
		1) ; 2) 25; 3) 6; 4) -5/4; 5) 4;
	;	1) ; 2) 2;3) 6; 4) -5;5) 1;
	;	1) ; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
	.	1) ; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
	;	1)0; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
	;	1)0; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
		1)9; 2) 2;3) 6; 4) -5; 5) 1;
	Пусть Выражение log6 2 равно:	1)a/(a-1); 2) 1-a; 3) (1-a)/(2a); 4) 3(1+a); 5)- 1;
	Найдите	1)a-2b-2/(a-1); 2) 1-a; 3) (1-a)/(2a); 4) 3(1+a); 5)- 1;
	Найдите	1)a-2b-2/(a-1); 2) 1-a; 3) (1+a)/(2a+b); 4) 3(1+a); 5)- 1;
	Пусть Найдите: log 300 75	1)(a+2ab)/(2+a+2ab); 2) 1-a; 3) (1+a)/(2a+b); 4) 3(1+a); 5)- 1;
	Пусть Найдите:	1)(a+2ab)/(2+a+2ab); 2) 1-a; 3) (1+a+ab)/(2+a+ab); 4) 3(1+a); 5)- 1;
	Известно, что . Вычислите	1)(1- 2) 1; 3) (2+ 4) 3(1+ ); 5) ;
	Известно, что . Вычислите	1) 2) 1- ; 3) 1; 4) 3(1+- );5) ;
	Определите верные неравенства a) b) c) d) e) f) g) h)	1.b,d,g. 2.a,b,f; 3.f,g,h; 4d,e,h; 5.a,f,h
	Значение выражения равно:	1) 0; 2) 1 3) ; 4) ; 5) -1
	Пусть Какое из следующих выражений равно 3(1+a)?	1.b. 2. f; 3. h; 4d; 5.a.
	Пусть Выражение равно	1)a/(a-1); 2) 1-a; 3) (1-a)/(2a); 4) 3(1+a); 5)- 1;
	Результат упрощения выражения равен	1) 2; 2) log2x; 3) 0; 4) ; 5) другой ответ

Свойства логарифмической функции(26)

Свойства функция	y = lоga x, a >1	y = lоga x, 0 <a < 1
Область определения (D)	D(lоga x) =(0;+ ∞)	D(lоga x) =(0;+ ∞)
Множество значений (E)	E(lоga x) =(- ∞;+ ∞)	E(lоga x) =(- ∞;+ ∞)
Нули функции	lоga x =0 x=1	lоga x =0 x=1
Знаки функции	logax > 0 при x>1 logax < 0 при 0<x<1.	logax<0 при x >1 logax >0 при 0<x<1.
Промежутки возрастания	y = lоga x при a>1 возрастает на всей областиопределения.
Промежутки убывания		y = lоga x при 0<a<1убывает на всей области определения.
Графики

Тестовые задания на применение свойств логарифмической функции(27)

№	Задание	Ответ
	Найдите область определения функции y=log3 (5 + 4x - x2 )	1.(-1;5); 2. [-1;5); 3. [-1;5]; 4.(-∞;-1) (5;+∞) 5..(-∞;-1] [5;+∞)
	Найдите область определения функции y= logx+1 (2-x)	1.(-1;2); 2. [-1;0); 3. [-1;2]; 4.(-1;0) (0;2) 5..(-∞;-1] [2;+∞)
	Найдите множество значений функции y=log3 (5 + 4x - x2 )	1.(-1;2); 2. [-1;0); 3. [-1;2]; 4.(-1;0) (0;2) 5. (-∞;2]
	Наибольшее значение функции y=log3 (2+ 2x - x2 )	1)0;2)4;3)2;4)1; 5)1/9.
	Наименьшее значение функции y=log0,5 (3+ 2x - x2 )	1)0;2)4;3)-2;4)1; 5)1/4.
	Больше единицы значение функции при x, равном:	1)64;2)4;3)2;4)1; 5)1/16.
	Больше единицы значение функции при x, равном:	1)64;2)4;3)2;4)1; 5)1/16.
	Только неотрицательные значения принимает функция:	1.y=log1/3 (5 + 4x - x2 ); 2. y=log3 (5 + 4x + x2 ); 3. y=log3 (3 + 4x -x2 ); 4. y=log1/3 (3 + 4x -x2 ); 5. y=log1/2 (3 + 4x -x2 ).
7.	Решите уравннеие	1)0;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.
8.	Решите уравннеие	1)0;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.
9.	Решите уравннеие	1)2;2)4;3)3;4)1; 5)1/9.
	Решите неравенство	1. (1;7) (7;+∞); 2. [1;7); 3. [1;2]; 4.(1;7) (7;79) 5..(-∞;-1] [7;+∞)
	Решите неравенство	1)0;2)4;3)-2;4)-1; 5)1/9.
	Решите уравннеие	1)0;2)π;3)3π;4)1; 5)3.
	Решите уравннеие	1)0;2)π;3)3π;4)1; 5)3.
	Решите уравннеие	1)0;2)π;3)4;4)1; 5)3
	Решите уравннеие	1)0;2)π;3)3π;4)1; 5)3.
	Решите уравннеие	1)0;2)π;3)3π;4)1; 5)3.
	Решите уравннеие	1)0;2)2;3)3π;4)1; 5)3.
	Корень уравнения принадлежит промежутку	1) (-3;1]; 2) [-1;2); 3) (-10;0]; 4) (-10;3]; 5) [0;3)
	Наименьший корень уравнения равен	1) -2; 2) -0,5; 3) π/2; 4) 8; 5) другой ответ
	Наименьшее неотрицательное число из области определения функции y =	1).1;2) π; 3) 2; 4) 2π; 5) 0.

Решние логарифмических уравнений и неравенств в таблицах(28)

№	Вид уравнения, неравенства	Метод решения	Применение	Примечание
	loga f(x)= loga g(x)   а>0, а≠1	loga f(x)= loga g(x) , где а>0, а≠1, g(x) > 0, f(x) > 0.	Применяется для любого положительного основания, отличного от 1.	При решении уравнения могу появиться посторонние корни, поэтому следует сделать проверку решений.
	loga f(x)= = b где а>0, а≠1	loga f(x)= = b f(x)=a b	Применяется для любого положительного основания, отличного от 1.
	A loga 2 f(x) +B loga f(x)= +C=0, A≠0.	С помощью подстановки y= loga f(x) сводится к квадратному уравнению Ay2+By+C=0.	Применяется для уравнений, содержащих loga 2 f(x) и loga f(x) или loga f(x) и loga -1 f(x).	Подстановка может быть применена к уравнению p(x)= loga f(x)
	Уравнения, решаемые функциональным методом	f(x)= g(x)	Если f(x) возрастает, а g(x) не возрастает на их общей области определения, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня.	Так как — возрастающая функция (основание больше единицы) и — убывающая, то уравнение может иметь не более одного корня. Методом подбора его легко найти .
	Уравнения, решаемые методом логарифмирования	Переменная величина под знаком логарифма и в основании степени	При условии, что обе части уравнения положительны, обе части уравнения можно логарифмировать	Область определения: и при значит, логарифмируем по основанию 3.
6.	loga f(x)>   >loga g(x),   а>0, а≠1; loga f(x)<   <loga g(x)   а>0, а≠1	Применить замену данного выражения на знакосовпадающее с ним	Применяется для решения неравенств, содержащих переменную в основании
7.	A loga 2 f(x) +B loga f(x) +C >0, A≠0. A loga 2 f(x) +B loga f(x) +C <0, A≠0.	С помощью подстановки y= loga f(x) сводится к квадратному неравенству Ay2+By+C>0. (Ay2+By+C<0)	Применяется для неравенств содержащих loga 2 f(x) и loga f(x) или loga f(x) и loga -1 f(x).	log72 x + log7 x < 6; Обозначим log7 x через t, log7 x =t, тогда неравенство примет вид t2 + t<6; откуда -3<t<2. Учитывая то, что log7 x =t, получим неравенство -3<log7 x<2, 1/343<x <49. Решением данного неравенства служит промежуток (1/343;49)

Тестовые задания: простейшие логарифмические уравнения и неравенства (29)

№	Задание	Ответы
	Решите уравнение	1) ; 2)2; 3); 4)0; 5) .
	Решите уравнение	1) ; 2)2; 3); 4)0; 5) .
	Решите уравнение	1) ; 2)2; 3); 4)-5; 5) .
	Число корней уравнения	1)5; 2)2; 3)7; 4)0;5)6.
	Число корней уравнения равно	1)3; 2)2; 3)7; 4)0;5)6.
	Число корней уравнения	1)5; 2)2; 3)7; 4)0;5)6.
	Решите уравнение	1.-0,5; 2,5; 2)2;3; 3)-7;1; 4)0;0,5 5)-2;2,5.
	Решите уравнение	1)3; 2)2; 3)7; 4)0,55)6.
	Решите уравнение	1.-3,25; 1,25; 2)2;3; 3)-7;1; 4)0;0,5 5)-2;2,5.
	Решите уравнение	1)3; 2)2; 3)7; 4)0,55)6.
	Решите уравнение	1)3; 2)2; 3)0; 4)0,55)6.
	Число корней уравнения	1)3; 2)2; 3)1; 4)0;5)4.
	Решите уравнение	1)10; 2)2; 3)1; 4)100;5)0,1
	Число корней уравнения	1)3; 2)2; 3)1; 4)2;5)0
	Решите уравнение	1. 9; 2. 3;3)0; 1 4)0,09;35)9.
	Число корней уравнения	1)3; 2)2; 3)1; 4)4;5)0.
	Число корней уравнения	1)3; 2)2; 3)1; 4)0;5)4.
	Число целых рашений неравенства:	1)3; 2)2; 3)1; 4)0;5)4.
	Наибольшее целое решение неравенства:	1)10; 2)2; 3)100; 4)99; 5) 1000
	Число целых решений неравенства	1)3; 2)2; 3)1; 4)4;5)0.

Тестовые задания логарифмические уравнения и неравенства (30)

№	Задание	Ответы
	Решите уравнение log1/3(3+│sin x │) =2│x│-2	1)π; 2)2π; 3) π +2πn,n Z; 4)0; 5) πn,n Z.
	Решите уравнение   log22x + (x-1) log2x = 6-2x	1)0,25; 2; 2)1; 1; 3) 2; 1; 4) 2; 2; 5)0,25;1.
	Решите уравнение log22 (x+y) – 2sinx log2 (x+y) +1+ │y-1│=0	1)1; 2; 2)1; 1; 3) 2; 1; 4) 2; 2; 5)0,25;1.
	Решите уравнение 3sin x =	1)- , n Z; 2)2π; π;3) π +2πn, π +2πn, n Z; 4)0; 0;5) πn,πn,n Z.
	Решите уравнение: log2 (4x+1) log5 (4x+4)+ +log3 (4x+2) log4 (4x+3) = 2 log3 (4x+2) log5 (4x+4)	1)¼. 2)1; 3) 2; 4) 2; 5)0,25;
	Решите неравенство:	1.(1;7) 2)(1; +∞) 3) (7; +∞) 4) [1; +∞); 5) [7; +∞)
7.	Определите количество решений уравнения :	1.4; 2.3; 3.5; 4.9; 5.1.
	Решить неравенство:	1. ; 2. ; 3.[ 0;3] (4;5); 4. ; 5.
	Решить неравенство:	1. ; 2. ; 3.[0;3] (4;5); 4. ; 5.
	Решите неравенство:	1. ; 2. ; 3.[ 0;3] (4;5); 4. ; 5.
	Решите неравенство:	1.[1;3] 2. ; 3.[ 0;3] (4;5); 4. ; 5.
	Решите неравенство: .
	Решите неравенство:	1. ; 2. ; 3.[ 0;3] (4;5); 4. ; 5.
	Решите неравенство:
	Решите неравенство:	1. 2. ; 3.[0;3] (4;5); 4. ; 5.
	Решите неравенство:	1. ; 2. ; 3.[0;3] (4;5); 4. ; 5.
	Найдите сумму целых решений неравенства на промежутке [-3;3]	1.4; 2.3; 3.5; 4.9; 5.1.
	Решите неравенство:	1) ; 2. ; 3. ; 4. 5.
	Решите неравенство:	1) ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.
	Решите неравенство:	1) ; 2. ; 3) ; 4. ; 5.
	Решите неравенство:	1) ; 2. ; 3) ; 4. ; 5.
	Решите неравенство:	1) ; 2. ; 3) ; 4. ; 5.
	Решите неравенство:	1. 2. ; 3) ; 4. ; 5.
	Определите число целых решений неравенства log2+x (6-│x│) ≥ 0	1) 6; 2.3; 3.5; 4.9; 5.1.
	Решите уравнение	1.8, π/2; 5π/2. 2. 4, 5π/2. 3. π/2; 5π/2. 4. 5π/2. 5. 2, π/2.
	Решите уравнение: log9(37-12x)·log7-2x3 = 1.	1.1; 2.3; 3.5; 4.2; 5.-1.
	lg sinx + lg cosx < 0	1.(2πn;π/2+2πn), n 2. (4; 5π/) 3. (π/2; 5π/2). 4. 5π/2. 5.(1;π/2).

Дополнительные справочные материалы

Данное выражение	Выражение, совпадающее по знаку с данным	Дополнительные условия
		, , ,
		,
		, ,
		,
		—
		—
		—