Пассивные параметры и характеристики электрических цепей в комплексной форме

 

1. Сопротивления. Отношение комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением

(3.17)

где - отношение действующего или амплитудного напряжения соответственно к действующему или амплитудному току называется полным сопротивлением. Полное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока, т.е.

Комплексное сопротивление можно представить в виде

,

где - вещественная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением;

- значение мнимой части комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением.

Очевидно, что

, .

В технической литературе встречаются также следующие наименования для сопротивлений: вместо полного сопротивления – кажущееся сопротивление, импеданс; вместо комплексного сопротивления – комплексный импеданс, вместо реактивного сопротивления – реактанс.

Для схемы, представленной на рис. 3.11, комплексное сопротивление

Напомним, что реактивное сопротивление

, (3.18)

где являются соответственно индуктивным и емкостным сопротивлениями.

В свою очередь индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды напряжения на индуктивности и тока:

; .

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока. Это объясняется тем, что напряжение на индуктивности пропорционально скорости изменения тока:

Емкостное сопротивление связывает между собой амплитуды напряжения на емкости и тока:

; .

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока. Эту зависимость от частоты легко пояснить, а искомой величиной ток: Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на зажимах емкости и, следовательно, емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения.

Напряжения на последовательно соединенных индуктивности и емкости противоположны по фазе; поэтому в выражение (3.18) для реактивного сопротивления x сопротивления и входят с различными знаками. Напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты по фазе относительно напряжения на сопротивлении соответственно на p/2 и -p/2. Поэтому эти сопротивления входят в Z как и при переходе от дифференциальной формы, параметризованной временем, к символической, представленной положением вектора на комплексной плоскости при фиксированном значении времени.

Напомним, что индуктивное и емкостное сопротивления являются величинами арифметическими – положительными, а реактивное сопротивление - величина алгебраическая и может быть как больше, так и меньше нуля.

Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление x равно индуктивному сопротивлению , а реактивное сопротивление x ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т.е. .

Заметим также, что для ветвей, каждая из которых содержит только сопротивление r, только индуктивность L или только емкость C, комплексные сопротивления соответственно равны:

2. Разность фаз напряжения и тока. Условимся под разностью фаз j напряжения и тока понимать разность начальных фаз напряжения и тока

(3.19)

Поэтому на векторной диаграмме угол j отсчитывается в направлении от вектора к вектору (рис. 3.16). Именно при таком определении разности фаз угол j равен аргументу комплексного сопротивления. Угол j положителен при отстающем токе ( > ) и отрицателен при опережающем токе ( < ).

Разность фаз между напряжением и током зависит от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений. При > имеем >0 и ток отстает по фазе от напряжения, .При имеем , , ток совпадает по фазе с напряжением. В целом проявляет себя как активное сопротивление. Это случай так называемого резонанса, который подробно рассматривается в § 3.14. Наконец, при < имеем x<0, j<0, ток опережает по фазе напряжения.

Векторные диаграммы для трех возможных соотношений и даны на рис. 3.33. При построении этих диаграмм начальная фаза тока y_i принята равной нулю. Поэтому j и y_u равны друг другу.

Рассматривая при заданной частоте цепь по рис. 3.11 в целом как пассивный двухполюсник, можно ее представить одной из трех эквивалентных схем: при как последовательное соединение сопротивления и индуктивности (r и ), при как сопротивление r и при < как последовательное соединение сопротивления и емкости (r и ). При заданных L и C соотношение между и зависит от частоты, а потому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Рис. 3.33. Векторные диаграммы (последовательное соединение)

Часто равной нулю принимается начальная фаза заданного напряжения: . Тогда, как следует из (3.19), начальная фаза тока yiравна и противоположна по знаку разность фаз j, т.е. .

 

3. Проводимости. Отношение комплексного тока к комплексному напряжению называется комплексной проводимостью

(3.20)

где - величина, обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью.

Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимообратные. Комплексную проводимость можно представить в виде

(3.21)

где - вещественная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью;

- значение мнимой части комплексной проводимости, называется реактивной проводимостью;

;

В технической литературе встречаются также следующие наименования для проводимостей: вместо полной проводимости – кажущаяся проводимость, адмиттанс; вместо комплексной проводимости – комплексный адмиттанс.

Для схемы, представленной на рис. 3.20, комплексная проводимость

,

где

, ,

и являются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями.

Реактивная проводимость

. (3.22)

Индуктивная и емкостная проводимости – арифметические величины, а реактивная проводимость (b) – алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости , а реактивная проводимость bветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т.е.

Рис. 3.34. Векторные диаграммы (параллельное соединение)

Сдвиг по фазе между напряжением и током соотношения индуктивной и емкостной проводимостей цепи. На рис. 3.34 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно > , = и < . При построении этих диаграмм начальная фаза напряжений принята равной нулю, поэтому j и как это следует из (3.19), равны и противоположны по знаку

Рассматривая схему по рис. 3.20 в целом как пассивный двухполюсник, можно заметить, что при заданной частоте она эквивалентна в первом случае параллельному соединению проводимости и индуктивности. Во втором – проводимости и в третьем – параллельному соединению проводимости и емкости. Второй случай называется резонансом и рассматривается в § 3.14. При заданных L и C соотношение между и зависит от частоты, а поэтому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Обратим внимание на то, что в схеме рис. 3.20 каждая из параллельных ветвей содержит по одному элементу. Поэтому получилось такое простое выражение для Y, в которое проводимости элементов входят как отдельные слагаемые.

В общем случае

(3.23)

откуда

(3.24)

и, наоборот,

(3.25)

Из полученных соотношений видно, что b и x всегда имеют одинаковый знак.

Наоборот, для схемы на рис. 3.20, состоящей из параллельного соединения элементов, получаются простые выражения для проводимостей, но относительно сложные выражения для сопротивлений, причем и эквивалентное и активное сопротивление зависит от частоты:

Переход от сопротивления к проводимости и обратно соответствует замене схемы цепи с последовательным соединением элементов r и x эквивалентной схемой с параллельным соединением элементов g и b и обратно.

Заметим, что обозначения Z, Y, r, , , , g, b, и применяются не только для сопротивлений и проводимостей, но и для элементов схемы, характеризуемых этими величинами. В таких случаях элементам схемы дают те же самые наименования, какие присвоены величинам, которые обозначаются этими буквами.

Комплексные сопротивления или проводимости как элементы схемы имеют условное обозначение в виде прямоугольника (рис. 3.16, рис. 3.22).

4. Пассивный двухполюсник. Ток и напряжение на входе любого пассивного двухполюсника (рис. 3.35) связаны законом Ома

и

Рис. 3.35. Пассивный двухполюсник

где Z и Y – входные комплексные сопротивления и проводимость двухполюсника.

Входному комплексному сопротивлению соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления r и реактивного сопротивления x.

Последнее в зависимости от знака следует рассматривать либо как индуктивное, либо как емкостное сопротивление.

Напряжение можно разложить на составляющие:

где - составляющая, совпадающая по фазе с током, является активной составляющей напряжения;

- составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол p/2, является реактивной составляющей напряжения.

Составляющие и можно рассматривать как напряжения на элементах r и x эквивалентной схемы.

Рис. 3.36. Треугольники напряжений и токов

На рис. 3.36 представлена векторная диаграмма двухполюсника для случаев, когда j>0, т.е. – индуктивное сопротивление. Треугольник, образованный векторами , и со сторонами, пропорциональными z, r и , является треугольником напряжений. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны сопротивлениям z, r и , очевидно будет треугольником сопротивлений. Из треугольника напряжений следует, что

, , .

Входной комплексной проводимости соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящего из параллельного соединения проводимостей g и b. Последняя в зависимости от знака либо индуктивная, либо емкостная.

Ток на входе двухполюсника можно разложить на составляющие:

,

где - составляющая, совпадающая по фазе с напряжением, является активной составляющей тока;

- составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол p/2, является реактивной составляющей тока.

Составляющие и можно рассматривать как токи в элементах g и b эквивалентной схемы.

Треугольник, образованный векторами , , и (рис. 3.36), со сторонами, пропорциональными y, g, , будет треугольником токов.

Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны проводимостям y, g и , следует считать треугольником проводимостей.

Из треугольника токов имеем:

; ;

 

5. Комплексная мощность. Если известны напряжение и ток в двухполюснике в комплекс­ной форме, можно определить мощность, поступающую в него. При этом напрашивается мысль, что для этого следует комплексное напряжение Ù = Ue^jα умножить на комплексный ток İ = Iе^jβ. Однако такое произведение не имеет никакого смысла. Оно будет содержать сумму начальных фаз +β и, следовательно, окажется зависимым от начальных фаз напряжения и тока, т. е. от момента наблюдения.

При известных напряжении и токе в двухполюснике, заданных в комплексной форме, мощность, поступающая в двухполюсник, может быть определена на основании следующих соображений.

Пусть заданы векторы Ù = Ue^jα и İ = Iе^jβ. Выражение активной мощности преобразуем следующим образом:

.

Но UI cos ( - β) есть вещественная часть комплексного выражения .

Аналогично реактивную мощность

можно представить в виде мнимой части того же комплексного выражения.

Таким образом, если комплексное напряжение Ù=Ue^jα умножить на комплексную величину, сопряженную с комплексным выражением тока , то вещественная часть полученного произведения будет представлять собой активную мощность, поступающую в двухполюсник, а мнимая—реактивную. (Звездочкой над будем обозначать комплексную величину, сопряженную с комплексной величиной İ)

Комплексная полная мощность

. (3.34)

Если мнимая часть комплексного выражения полной мощности положительна, то двухполюсник обладает индуктивной реакцией. Если же она отрицательна, реакция двухполюсника - емкостная.

Если комплексные выражения напряжения и тока написаны в алгебраической форме, то комплексная полная мощность

.

(вещественная и мнимая части этого выражения имеют тот же смысл активной и реактивной мощностей соответственно).

При работе любой электрической цепи должен иметь место баланс мощностей, иными словами, алгебраические суммы активных и реактивных мощностей, развиваемых генераторами, должны равняться, соответственно, алгебраическим суммам активных и реактивных мощностей, поступающих во все пассивные элементы цепи, включая и внутренние сопротивления генераторов.

Полная мощность, развиваемая генератором, есть произведение э.д.с. генератора, записанной в комплексной форме, на комплексную величину, сопряженную с комплексным выражением тока через генератор:

.

Полная мощность, поступающая в любой пассивный элемент цепи

,

где — напряжение на этом пассивном элементе.

Полную мощность, поступающую во внутреннее сопротивление генератора, удобней записать в другой форме:

.

Уравнение баланса мощностей

.

Полная мощность, отдаваемая генератором во внешнюю цепь:

.

Если активная мощность, развиваемая генератором или отдаваемая генератором во внешнюю цепь, окажется отрицательной, то данный генератор не отдает, а поглощает энергию, т. е. является приемником.

Когда в цепи работает один генератор напряжения, мощность, отдаваемая им во внешнюю цепь, будет наибольшей, если эквивалентное реактивное сопротивление внешней цепи будет равно и противоположно по знаку внутреннему реактивному сопротивлению генератора, а активные сопротивления генератора и внешней цепи равны между собой. Действительно, ток в такой цепи

,

где r_i и x_i - внутренние сопротивления генератора; r и х - сопротивления внешней цепи.

Ток будет максимальным при заданных активных сопротивлениях, если подобрать х = - х_i. В этом режиме

или .

Мощность Р = I²r, расходуемая во внешней цепи, будет максимальной, если, кроме того, активное сопротивление внешней цепи подобрать равным активному сопротивлению генератора.

Таким образом, мощность, отдаваемая приемнику, максимальна, если полное сопротивление приемника и полное внутреннее сопротивление генератора — сопряженные комплексы.