Определение
Точка 
называется точкой локального максимума функции 
, если существует такая окрестность этой точки, что для всех 
из этой окрестности выполняется неравенство: 
.
Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности 
.
Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.
Точка называется точкой строгого локального максимума функции 
, если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство 
.
Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство 
.
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
Замечание
Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Необходимое условие экстремума
Теорема
(Необходимое условие экстремума)
Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная 
либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: 
, называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная 
не существует.
Замечание
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Первое достаточное условие экстремума
Теорема
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
1. функция непрерывна в окрестности точки ;
2. 
или не существует;
3. производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке 
функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
1. найти производную ;
2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4. найти значение функции в экстремальных точках.
Второе достаточное условие экстремума
Теорема
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
1. она непрерывна в окрестности точки ;
2. первая производная в точке ;
3. 
в точке .
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если 
, то в точке функция имеет минимум; если 
, то в точке функция достигает максимум.
Выпуклость и точки перегиба. Основные понятия и определения. Достаточное условие выпуклости функции.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство. Пусть х0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.
Уравнение кривой: y = f(x);
Уравнение касательной: 
Следует доказать, что 
.
По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): 
, x0 < c < x.
По теореме Лагранжа для 
Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию
, следовательно, 
.
Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию 
то
.
Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при
x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.
2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.
Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M(x,f(x)), причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).