Дифференцирование функции, заданной неявным образом.





Под неявним заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; у) = 0, не разрешенного относительно у.Всякую явно заданную функцию у = f (х) можно записать как

неявно заданную уравнением f(x) - у = 0, но не наоборот.Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительноу. Если неявная функция задана уравнением F(x; у) = 0, то для нахождения производной от y по х нет необходимости разрешать уравнение

относительно у : достаточно продифференцировать этоуравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х,и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.Производная неявной функции выражается через аргумент х ифункцию у.Найдем производную y’x, считая, что функции x=x(t) и y=y(t) имеют производныеи что функция х = x(t) имеет обратную t = φ(x). По правилу дифференцирования обратной функции:

 

 

94.Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Инвариантность формы дифференциала первого порядка Найти производную показательно-степенной функции y= . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Пусть задана сложная функция y=F(t)=f(g(t)), y=f(x), x=g(t).

dy=(f(g(t))¢ dt=f¢(x)g¢(t)dt=f¢(x)dg=f¢(x)dx. Вид первого дифференциала такой же, как и в случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности дифференциала первого порядка.

Для дифференциалов высших порядков свойства инвариантности, вообще говоря, нет.

dy=f¢dx, d 2y=f¢¢dx2+f¢d 2x, для функции x=t2, второй дифференциал d 2x ¹ 0. Формула Тейлора. Степенные ряды

Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов ). В случае, когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.

d ny, y=f(x), x=at+b, dx = a dt, d 2x=…=d nx=0. Таким образом, n-ый дифференциал

· Математика решение задач Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат Векторная алгебра

d nf=f(n)dxn имеет такой же вид, как и в случае независимого переменного x.

Кривые второго порядка.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

- уравнение эллипса.

- уравнение “мнимого” эллипса.

- уравнение гиперболы.

a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

y2 = 2px – уравнение параболы.

y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

 

 

Дифференциалы функции высших порядков.

Пусть у = f(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х –независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f’(х) dxесть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.Дифференциал от дифференциала функции у = f(x) называетсяее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) иобозначается d2y или d2f(x). т.е. производную функции можно рассматривать как отношение еедифференциала соответствующего порядка к соответствующей степенидифференциала независимой переменной.(только если x–независимая переменная)

 

Теорема Ферма.

Теорема Ролля.

Теорема Лагранжа.

Теорема Коши.

Дифференциал суммы, произведения и частного двухдифференцируемых функций определяются следующими формулами:d(u+v)=du+dv, d(uv)=v*du+u*dv, d(u/v)=(v*du-u*dv)/v2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу надифференциал этого промежуточного аргумента.

Теорема Ферма. Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ;b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0. Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [а ; b] и дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что . Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b]; 2) дифференцируемы в интервале (а ; b); 3) g'(x) ≠ 0 в этом интервале, то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что имеет место равенство

 

 

Правило Лопиталя.

(Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0) Пусть функции f(x) и φ(х) непрерывны и дифференцируемыв окрестности точки х0 и обращаются в нуль в этой точке: f(x0) = φ(х0) = 0. Пусть φ(х) ≠0 в окрестности точки х0. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ) Если существует предел , то . Пусть функции f(x) и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х0 (кроме, может быть, точки х0), в этой окрестности Если существует предел . Раскрытие неопределенностей различных видов. Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞ которые называют основными. Неопределенности

вида 0*∞, ∞-∞, 1, ∞0, 00 сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

 

Формула Тейлора. Многочлен Тейлора. Основные понятия и определения.





Читайте также:
Этапы развития человечества: В последние годы определенную известность приобрели попытки...
Историческое сочинение по периоду истории с 1019-1054 г.: Все эти процессы связаны с деятельностью таких личностей, как...
Средневековье: основные этапы и закономерности развития: Эпоху Античности в Европе сменяет Средневековье. С чем связано...
Примеры решений задач по астрономии: Фокусное расстояние объектива телескопа составляет 900 мм, а фокусное ...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.011 с.