Монотонные функции, определение. Достаточное условие монотонности функции.





Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1<x2, справедливо f(x1)<f(x2). Например, функции y=ax, y=logax при a>1, y=arctg x, y=arcsin x, (nÎN) возрастают на всей своей области определения.

График возрастающей функции

· Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1<x2, справедливо f(x1)>f(x2). Например, функции y=ax, y=logax при 0<a<1, y=arcctg x, y=arccos x убывают на всей своей области определения.

 

График убывающей функции

· Убывающие и возрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают рядом специальных свойств.

функция f(х), монотонная на отрезке [а,b], ограничена на этом отрезке;

· сумма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией;

· если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то также возрастает (убывает);

· если f'(x)>0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b);

· если f'(x)<0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является убывающей на интервале (a,b);

· если f(x) – непрерывная и монотонная функция на множестве Х, то уравнение f(x)=C, где С – данная константа, может иметь на Х не более одного решения;

· если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не может иметь более одного решения.

 

Теорема . (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b). Рассмотрим два произвольных значения x2 > x1, принадлежащих [а, b]. По формуле Лагранжа х1<с < х2. (с) > 0 и х2 – х1 > 0, поэтому >0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f(х) имеет в этой точке экстремум, то .

Доказательство. Пусть, например, функция у = f(х) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f(x) < f(c), то есть f (c) – наибольшее зна­чение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .

Аналогично доказывается случай минимума в точке c.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не сущест­вует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критиче­ских точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x3 не имеет экс­тремумов, хотя ее производная =0.

Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале(c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.

Замечание. Если производная не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.

Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций

 





Читайте также:
Какие слова найти родителям, чтобы благословить молодоженов?: Одной из таких традиций является обязательная...
Методы лингвистического анализа: Как всякая наука, лингвистика имеет свои методы...
Романтизм как литературное направление: В России романтизм, как литературное направление, впервые появился ...
Пример художественного стиля речи: Жанры публицистического стиля имеют такие типы...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.009 с.