Решая систему уравнений, находим значения корней: q 
, q 
,q 
,Y 
= 
Таким образом, оптимальная стратегия РД будет: S*2=(
, 
)
Данный метод линейного программирования позволяет принимать оптимальные стратегии пары игроков –РД и РА на рекламном рынке, что сокращает рекламные издержки при решении требуемой стратегии рекламодателя.
Рассмотрим конкретный пример. Выделенный объем рекламного бюджета РД составляет 1000$. Требуется определить объем рекламы по каждому из её видов и гарантированный уровень сбыта рекламируемого товара. Известно, если реклама вида j(1≤ j ≤ n) будет эффективна, то при сбыте РД получит прибыль d 
, в противном случае рекламные затраты составят убыток c .Моделью такого экономического конфликта является игра, в которой в качестве одной из сторон выступает РД (игрок М), а в качестве другой- спрос на рекламируемый продукт, причем он неизвестен. Каждая из сторон имеет по n стратегий:
M 
- стратегия РД по выбору i-го вида рекламы с затратами на неё -Q 
; а П 
- стратегия игрока (П), т.е. на j-ый товар под воздействием рекламы. Полезность РД – доход d от рекламы i. В таком случае конечная игра задается матрицей выигрышей:
H= 
Предположим, что доходы от продаж по каждому виду рекламы равны, т.е. d1=d2=…=dn=d Например, известны данные по рекламным затратам и ожидаемый доход, отраженный в таблице:
Таблица 1.19.
| Наименование показателя | Вид рекламы | ||||
| Ежедневный доход предприятия от рекламы, у.е. | |||||
| Затраты на рекламу С
|
С учетом этих данных матрица выигрышей будет иметь следующий вид:
H= 
Преобразуем эту матрицу путем вычитания из каждого элемента d=10 к виду:
H= 
Проверим условие рентабельности сбыта от действия рекламы:
R= 
>0
В нашем случае это условие
R= 
>0
Правильная рекламная политика наблюдается при смешанной стратегии S 
, где вероятности p показывают доли от рекламного бюджета Q=1000$, предназначенные на разработку i вида рекламы. P 
Где 1 
Для стратегии 1 величина P 
аналогично определяем остальные доли деления рекламного бюджета по видам рекламы. Смешанная стратегия запишется как S 
, согласно которой бюджет вQ=1000у.е. следует разделить на объемы по видам рекламы: Q1=248у.е., Q2=210 у.е.,Q3=122 у.е.,Q4=175 у.е.,Q5=244
Ожидаемый доход (D) РД будет равен значению игры, которое определяется по формуле:
D= 
В рассмотренном случае ожидаемый доход отрицателен. Следовательно, необходимо выбрать другую рекламную стратегию и провести аналогичное исследование, пока не будет достигнут положительный результат.
Таким образом, при использовании смешанной стратегии, т.е. применения различного вида рекламы, доход гарантируется лишь в среднем, является ожидаемым и не может совпадать точно с реальным выигрышем, что и является характерным в условиях риска.
Пример 17
Выбор рекламных стратегий по моделям игровых задач.
Известно достаточно много рекламных стратегий, используемых рекламодателем для продвижения своих товаров. Однако, используются стратегии рекламодателем интуитивно или неоптимально, в смысле рекламных издержек. Стоит задача в формализации принимаемых рекламных стратегий и их оптимизации по критерию издержек. Рассмотрим следующую ситуацию:
Рекламное агентство (РА) разработала для рекламодателя (РД) – m стратегий по видам предлагаемой рекламы для продвижения её товара на рынке. Каждая стратегия i характеризуется величиной рекламных затрат А , тогда набор рекламных стратегий от рекламного агентства запишется так РА=(A1,A2,…,An) Рекламодатель РД имеет также несколько(n) стратегий РД=(B1,B2,…,Bn), которые он желает получить от действия своих средств, вложенных в рекламу.
Пусть каждая сторона выбрала определенную стратегию, РА-А , РД- B 
такое действие называется матричной игрой размерностью mxn.
Пусть a 
–выигрыш РА в ситуации, когда РА выбрала рекламную стратегию A , а РД- стратегию B .Выигрыш РД в данной ситуации обозначим через b В общем случае a 
для любых i и j.
Предположим, что значения a известны для каждой пары стратегий (A 
.
Составим прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют стратегии РФ, а столбцы – РД. Эта таблица называется платежной матрицей. Каждый элемент a определяет величину выигрыша РА (получение заказа на рекламу) и проигрыша РД (увеличение издержек по рекламе) при применении стратегий (A 
Цель РА – максимизировать заказ на рекламу, цель РД- минимизировать рекламные затраты. Таким образом, игровая платежеспособная матрица ситуации рекламного рынка может иметь вид:
| Cтратегии рекламной фирмы (РФ) | Виды рекламы | Стратегии рекламодателя (РД) | |||||
| Узнаваемость товарной марки | Заинтересованность в новом продукте | Создание благоприятного впечатления | Минимальный планируемый сбыт | Средний планируемый сбыт | Максимальный планируемый сбыт | ||
B 
| B 
| B 
| B 
| B 
| B 
| ||
| Печатная | А
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
|
| TV | А 
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
|
| Радио | А
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
|
| Наружная | А
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
|
| сувенирная | А
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
| a 
|
Таблица 1.20
В качестве A 
может выступать комбинация (сочетание) одновременно предлагаемых видов рекламы для получения комбинации B 
желаемых стратегий РД. Задача состоит в определении:
1) наиболее выгодной стратегии РА из стратегий A 
;
2) наилучшей (оптимальной) стратегии РД из набора B 
;
При условии, что РА и РД делают все для того, чтобы добиться своей цели.
Если РА выбирает стратегию А , то РД может выбрать такую стратегию, при которой выигрыш a РА будет равен наименьшему из чисел a 
, т.е. a 
, т.е. a равно минимальному значению из всех чисел первой строки.
Если РФ выбирает стратегию A , то её выигрыш будет равен наименьшему из чисел a , т.е. a 
Выбирая стратегию A , РА должна рассчитывать на то, что в результате рекламных действий РД она не выбирает более, чем a 
.Поэтому РА должна выбрать ту стратегию, для которой a максимально, т.е., исходя из критерия
а=max a =min a .
Величина а- гарантированный выигрыш, который обеспечивает себе РА при любой стратегии поведения РД.
РД заинтересован в том, чтобы уменьшить свой проигрыш в финансировании рекламы, т.е обратить выигрыш РА в минимум. Для выбора оптимальной стратегии РФ должна найти максимальное значение выигрыша в каждом столбце и среди этих значений выбрать наименьшее.
Обозначим через b максимальное значение в каждом столбце b 
Наименьшее значение b обозначим через
b= 
Стратегия РД, обеспечивающая получение верхней цены игры, называется минимаксной чистой стратегией x Применяя её, РД проиграет не больше b при любых предложениях от РФ: b 
Таким образом, РА желает получить выигрыш не менее а независимо от действий РД, а РД гарантирует себе проигрыш не больше b.
Например, из представленной ниже матрицы рекламных затрат определим нижнюю и верхнюю цены игры и минимаксные стратегии:
Таблица 1.21
 -Цели РД
 -вид рекламоносителя
| Информированность о товаре B1 | Создание имиджа предприятия B2 | Увеличение сбыта B3 | Создание благоприятного впечатления B4 | а |
| А1(буклет) | |||||
| А2(щит) | |||||
| А3(TV) | |||||
| b |
Из матрицы находим 
Таким образом, нижней цене игры (а=20)соответствует стратегия РФ-А 
Выбирая стратегию, РА достигнет выигрыша не меньше 20 тыс.руб.по заказу на щитовую рекламу, при любом поведении в принятии стратегий РД
Верхней цене игры b=22тыс.руб. соответствует стратегия РД- B 
Эти стратегии являются минимаксными Если обе стороны будут придерживаться этих стратегий, выигрыш РФ будет равен a 
тыс.руб.
Существуют ситуации на рекламном рынке, для которых нижняя цена игры равна верхней, т.е. a=b. Такие ситуации называются играми с седловой точкой, в этом случае a=b= 
называется чистой ценой игры ¸а стратегия игроков рФ и РД –Ai 
Bj оптимальными. Пара (Ai,Bj) называется cедловой точкой матрицы, т.к. элемент a = 
одновременно является минимальным и в i–ой строке и в j–ом столбце. Оптимальные стратегии A и B и чистая цена являются решением игры в чистых стратегиях.
Например, дана матрица платежей за рекламу:
Таблица 1.22.
| B
| B
| B
| B 
| a | |
| A
| |||||
| A
| |||||
| A
| |||||
| b |
Откуда a=max(10,22,7)=22; b=min (25,30,40,22) Следовательно, a=b=22, тогда cедловой точкой (оптимальной стратегией РА и РД) является пара A 
Рассмотрим игровые ситуации на рекламном рынке в смешанных стратегиях. Для применения смешанных стратегий требуются следующие условия: в игре отсутствует седловая точка; игроками (РА и РД) используются случайная смесь стратегий с соответствующими вероятностями; игра многократно повторяется в одних и тех же условиях; при каждом из ходов РА и РД не информированы о выборе стратегии; допускается усреднение результатов игровой ситуации.
Смешанные стратегии игроков –РФ и РД, применяющих соответственно стратегии A и B 
обозначим через S 
, S 
где p 
–вероятности использования РФ стратегий A 
- вероятность использования РД рекламных стратегий B 
Смешанную стратегию для РА-S можно записать как
S 
Для рекламодателя (РД) как
S 
Матрица платежей за рекламу запишется так:
A 
Зная матрицу А можно определить средний выигрыш (математическое ожидание)
M(A 
РА, применяя смешанные стратегии, стремится увеличить свой выигрыш (получить большой заказ на рекламу), достигая а= 
РД добивается, чтобы а= 
Обозначим через p* 
и q* 
векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям РА и РД, при которых выполняется равенство:
= 
При этом выполняется условие:
M(A,p,q* 
Решить игру- означает найти цену рыночной игры и оптимальные стратегии.Следует заметить, что каждая рыночная конечная игра имеет цену j,т.е.j – средний выигрыш, приходящийся на одну партию, удовлетворяющую условию a 
.Каждый из игроков –РА и РД при многократном повторении игры получает более выгодный для себя результат.
Таким образом, имеются матрицы S 
.Требуется найти оптимальные смешанные стратегии РФ и РД, т.е. S 
и цену рыночной игры- 
(стоимость рекламы), где
p* 
q* 
Из условий следует, каковы бы ни были действия РА и РД, выигрыш будет равен цене игры - 
.Это означает, что если РФ придерживается оптимальной стратегии S* .Для РФ система уравнений примет вид:
p 
Для РД система уравнений будет аналогична:
q 
Решая системы уравнений для РД и РА находим оптимальные решения:
S 
и . Например, имеется простейшая матрица рекламных платежей в у.е.
A= 
Так как a=16, b=20, то a 
и решение ищем в смешанных стратегиях. Системы уравнений имеют вид:
Для РА:
p 
>1
Для РД:
q 
=1
Решая системы уравнений, находим: p 
; p* 
;q 
; q 
; 
.Следовательно, оптимальные стратегии для субъектов рекламного рынка
S 
с выигрышем (заказом на рекламу) 18,57 у.е.
Пример 18
Рассмотрим зависимость показателя реализованной продукции (млн.руб), от затрат на рекламу (тыс.руб). Данные о динамики изменения этих показателей приведены в первых двух графах таблицы 1.23.
Решение.
Промежуточные расчеты представим в таблице 1.23
Таблица 1.23.
| t | y | x | x-xcp | (x-xcp)2 | y-ycp | (y-ycp)2 | (x-xcp) x (y- -ycp) | Расчет yp | Отклонение ET |
| -9 -7 -4 -6 | -31 -14 -1 | 31,7 37,1 45,2 39,8 56,0 64,1 74,9 69,5 85,7 | -6,7 -3,1 -3,2 11,2 -1,0 2,9 -1,9 6,5 -4,7 | ||||||
| 31,2 | - |
Прежде всего оценим величину влияния фактора на исследуемый показатель при помощи коэффициента парной корреляции (результаты вычислений отражены в таблице):
.
Значение коэффициента парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Положительное значение свидетельствует о прямой связи, отрицательное об обратной (при росте одной переменной — другая уменьшается). Чем ближе значение к единице, тем теснее связь. Считается, что связь достаточно сильная, если коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7, и слабая, если он меньше 0,3. При равенстве коэффициента нулю связь полностью отсутствует. В нашем случае можно утверждать о сильной прямой зависимости двух исследуемых показателей.
Оценка параметров регрессии осуществляется на основе следующих формул:
