РАЗДЕЛ 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ
ТЕМА 1. ВИДЫСРЕДНИХ ВЕЛИЧИН. МОДА И МЕДИАНА
Основные теоретические сведения темы
Средняя величина - это обобщающая характеристика размера изучаемого признака. Она позволяет одним числом количественно охарактеризовать качественно однородную совокупность.
Применение средних величин:
- для оценки финансового состояния предприятия – например, результатов деятельности(средняя заработная плата, средняя выработка на одного работника, и др.);
- для оценки работы банка, а также отдельных банковских операций (средняя величина вкладов на депозиты и др.);
- для оценки состояния финансовых организаций.
Существует 2 класса средних величин: степенные и структурные.
Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:
где X - значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N - общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности).
Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:
где f - количество с одинаковым значением X (частота).
Средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны частоты f, а известно w=Xf.
Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения X, который был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения X.
Средняя квадратическая применяется в тех случая, когда исходные значения X могут быть как положительными, так и отрицательными, например, при расчете средних отклонений.
К наиболее часто используемым структурным средним относятся статистическая мода и статистическая медиана.
Статистическая мода - это наиболее часто повторяющееся значение величины X в статистической совокупности.
Если X задан дискретно, то мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. В статистической совокупности бывает 2 и более моды, тогда она считается бимодальной (если моды две) или мультимодальной (если мод более двух), что свидетельствует о неоднородности совокупности.
Если X задан равными интервалами, то сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой f. Внутри этого интервала находят условное значение моды по формуле:
где Мо – мода;
ХНМо – нижняя граница модального интервала;
hМо – размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей);
fМо – частота модального интервала;
fМо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
fМо+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.
Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой - меньше медианы.
Если X задан дискретно, то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания, тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).
Если X задан в виде равных интервалов, то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле:
где Ме – медиана;
ХНМе– нижняя граница медианного интервала;
hМе – размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей);
fМе – частота медианного интервала;
fМе-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному.