Пример 5.1. Задано распределение:
Wi | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,05 | 0,03 | 0,01 | 0,01 |
Хi |
Найти его коэффициенты асимметрии и эксцесс через нормированные моменты 3 и 4 порядка.
В примере будет использоваться несокращенные методы дисперсии.
Для нахождения коэффициента асимметрии через момент 3-го порядка нам необходимо вычислить среднее квадратичное отклонение и момент 3 порядка ).
Зная момент 3 порядка и среднее квадратичное отклонение можно найти коэффициент асимметрии.
Проведём такую последовательность действий:
1) Для нахождения средней арифметической взвешенной рассчитываем столбец путём умножения столбцов и .
Для этого в электронной таблице Excel выбираем функцию ПРОИЗВЕД в категории "Математические" и указываем соответствующие ячейки;
2) Находим среднюю арифметическую взвешенную согласно нашим условиям задачи по формуле:
В электронной таблице Excel определяем выбранную ячейку и выбираем функцию СУММ в категории "Математические" и указываем в ней весь столбец ;
3) Рассчитываем столбец, в котором будут отклонения значений от средней арифметической взвешенной для дальнейших расчетов.Для этого в электронной таблице Excel в пустой ячейке данного столбца ставим знак "=" и после указываем соответствующую ячейку из столбца , а после ставим знак "минус" и указываем ячейку со значением
4) Для нахождения дисперсии и момента 3 и 4 порядка рассчитываем столбцы , и соответственно на основе ранее рассчитанного .
В электронной таблице Excelвыбираем функцию СТЕПЕНЬ в категории "Математические", после в первой графе указываем соответствующую ячейку из столбца , а в графе "степень" ставим "2", "3" и "4" соответственно;
|
5) Находим дисперсию и момент 3 и 4 порядка по формулам:
Для этого в электронной таблице Excelсоздаём столбцы , и находя значения с помощью функции ПРОИЗВЕД в категории "Математические" и указывая значения столбца , либо , либо и соответственно,после нахождения всех значений суммируем их с помощью функции СУММ в категории "Математические", указывая все значения столбца;
6) Рассчитываем среднее квадратичное отклонение по формуле:
Для этого в электронной таблице Excel выбираем функцию КОРЕНЬ из категории "Математические" и указываем ячейку со значением дисперсии;
7) Находим коэффициент асимметрии и эксцесс по формулам:
В электронной таблице Excelв пустой ячейке ставим знак "=", после указываем ячейку со значением , либо , ставим знак деления, после, используя формулу СТЕПЕНЬ указываем в скобках через знак ";" ячейку со значением и цифру 3 и 4 соответственно.
На основе проведённых расчетов получены следующие результаты (см. рис.5.1)
Рис.5.1. Результаты расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса
Пример 5.2. Задано распределение:
Fi | |||||||
Хi | 7,5 | 12,5 | 17,5 | 22,5 | 27,5 | 32,5 | 37,5 |
Найти его коэффициенты асимметрии и эксцесс через нормированные моменты 3 и 4 порядка. Привести значения задачи для использования данной формулы .
Выполняем действия, описанные в Задании 4, но перед этим рассчитаем удельный вес используя данные из столбца Fiдля упрощения дальнейших расчетов по формуле:
Для этого в электронной таблице Excel в пустой ячейке ставим знак "=", после выделяем соответствующую ячейку из столбца Fi, после ставим знак деления и, используя функцию СУММ, указываем весь столбец Fi.
|
На основе проведённых расчетов получены результаты (см. рис.5.2)
Рис.5.2. Результаты расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса
Вопросы и задачи к теме
Вопросы для изучения
1. Центральные моменты.
2. Асимметрия Пирсона.
3. Эксцесс. Нормальное распределение и его критерии.