Некоторое предприятие ведёт продажу однородной сельскохозяйственной продукции. Руководство предприятия проводит изучение зависимости объёма продаж (Q) от выбранной цены (P). При этом одновременно предприятие проводит рекламную акцию и несёт некоторые расходы на рекламу(R). Данные[10]наблюдений приведены в табл. 3.24, где Q – объём продаж (кг.); P – цена одной единицы продукции (руб.);
R – расходы на рекламу (100 руб.)
Используя имеющиеся данные, требуется:
1. Найти зависимость объёма (Q) продаж от цены (P) и рекламных расходов (R).
2. Экономически обосновать знаки коэффициентов в построенных моделях.
3. Рассмотреть модель, учитывающую, что для расходов на рекламу существует «эффект насыщения», т.е. начиная с некоторого момента вложения в рекламу перестают приводить к увеличению объёма продаж. Рассмотреть зависимость вида 
.
4. Найти МНК-оценки коэффициентов множественной регрессии. Оцените значимость полученного уравнения в целом и значимость отдельных коэффициентов.
5. Оценить прогностические возможности полученного регрессионного уравнения, учитывая коэффициент детерминации.
6. Найти 95%-доверительные интервалы коэффициентов 
Таблица 3.24
Исходные данные
 |
7. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов множественной регрессии.
8. Найти объём продаж при цене единицы продукции 6 руб., и рекламных расходах 280 руб. Вычислить 95 % доверительный интервал для величины объёма продаж.
Отчёт по лабораторной работе № 2
1. Определим наличие статистической зависимости между переменными. Для этого вычислим корреляционную матрицу и описательные статистики, построим поля рассеяния заданных показателей табл. 3.25, 3.26, рис. 3.11).
|
|
Таблица 3.25
 |
Матрица коэффициентов корреляции
Таблица 3.26
Расчет описательных статистик 
2. Значимые коэффициенты корреляции свидетельствуют о том, что имеется статистическая связь между объёмом продаж Q и ценой единицы продукции P, а также между объёмом продаж Q и расходами на рекламу R. Причём, связь между объёмом продаж и ценой единицы продукции отрицательная, что означает, что с увеличением цены объём продаж уменьшается. Этот вывод не противоречит основным представлениям экономической теории и здравому смыслу.
Иначе обстоит дело с расходами на рекламу и объёмом продаж. Значимая отрицательная корреляционная связь показывает, что с увеличением расходов на рекламу объёмы продаж продукции падают. Это может свидетельствовать или об отрицательном эффекте рекламной акции (например, в результате неграмотной её организации), или о том, связь между рассматриваемыми переменными не является прямой, т.е. реклама влияет на результирующий признак опосредованно, через некоторые другие переменные.
Рис.3. 11. Поля рассеяния и гистограммы исходных признаков
Для более подробного исследования рассмотрим уравнение парной регрессии:
Таблица 3.27
 |
Регрессионная модель зависимости объема продаж от затрат на рекламу
ОБЪЁМ_ПР = 877,0006 – 84,8295 РЕКЛ_ЗАТ, 
= 0,56383892
Все коэффициенты уравнения регрессии значимы на стандартном 5 %.уровне.
Анализ остатков построенного уравнения регрессии показывает, что более половины наблюдаемых значений находятся за пределами 95 % доверительного коридора (трубки). Это указывает на то, что, несмотря на значимость полученного уравнения, оно может быть улучшено за счёт введения в него дополнительных объясняющих переменных.
|
|
Рис. 3.12. График распределения остатков уравнения регрессии
Уравнение регрессионной зависимости между объёмом продаж и ценой хотя и является значимым (р — значение менее 0,0317), но всё же недостаточно хорошо воспроизводит качество зависимости (
= 0,23149631).
Таблица 3.28
Регрессионная модель зависимости объема продаж от цены товара
 |
ОБЪЁМ_ПР = 1198,030 – 104,119 ЦЕНА, = 0,23149631
Проведённый предварительный анализ свидетельствует о необходимости использования более сложной модели, в частности, модели позволяющей одновременно учитывать влияние всей совокупности факторов.
Уравнение множественной регрессии, одновременно учитывающее оба фактора Q и R, имеет вид:
Таблица 3.29
Регрессионная модель зависимости объема продаж
 |
от затрат на рекламуи цену товара
ОБЪЁМ_ПР = 1255,010 – 66,733*ЦЕНА - 75,867*РЕКЛ_ЗАТ,
= 0,65264
Это уравнение значимо (р — значение менее 0,00012) и оно на 65,26 % объясняет вариацию зависимой переменной Р. Однако, в этом уравнении знак перед переменой РЕКЛ_ЗАТ не соответствует ожиданиям —естественно было предположить, что увеличение рекламных расходов будет приводить к увеличению объёма продаж, т.е. знак перед переменной РЕКЛ_ЗАТ должен быть положительным.
3. В использовании рекламы существенным является т.н. «эффект насыщения», заключающийся в том, что при увеличивающемся уровне расходов каждый последующий рубль даёт меньшую отдачу, чем при начальном уровне расходов. Поэтому, с учётом сделанного замечания, в модель вводится переменная КВ_РЕКЛ, численно равная квадрату рекламных затрат. (Как известно, квадратичная функция 
обладает, при 
локальным максимумом). Предполагается, что новая переменная будет иметь в регрессионной модели отрицательный знак, если сделанные предположения имеют место.
|
|
Результаты расчёта коэффициентов уравнения регрессии подтверждают справедливость сделанных предположений.
Таблица 3.30
 |
Множественная регрессионная модель
ОБЪЁМ_ПР = 963,718 – 111,498*ЦЕНА + 255,251*РЕКЛ_ЗАТ –43,238*КВ_РЕКЛ
(ср. кв. (131,7) (21,6) (63,4) (8,2)
откл. коэф.)
= 0,83357
4. Полученное уравнение регрессии является значимым и примерно на 87,4 % (т.к. коэффициент множественной детерминации = 0,87357) объясняет вариацию зависимой переменной. Все входящие в уравнение переменные значимы на уровне менее 1 %.
Таблица 3.31
 |
Дисперсионный анализ уравнения регрессии
5. Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии определяются с учётом того, что число степеней свободы модели равняется 
, где 
— число наблюдений, 
— число объясняющих переменных модели, и 
2,199. Значения ошибок (точнее - средних квадратичных отклонений) коэффициентов следует взять из таблицы результатов регрессионного анализа. Используя формулу
,
получим 
= (- 159,066; - 63,930).
Гипотезу о несущественном влиянии переменной Р (цены) на зависимую переменную Q (объём продаж) отвергаем, так как 
= 0 
.
Аналогичные выводы можно сделать относительно других переменных, анализируя построенные доверительные интервалы. Так, 
: 
= 0 отвергаем, поскольку 
= (115,666; 394,836). К такому же выводу о значимости коэффициента 
можно придти на основании рассмотрения соответствующего доверительного интервала 
= (–61,219; –25,256).
Таблица 3.32
Расчёт прогнозного значения объёма продаж
при заданных цене и рекламных расходах
6. Экономическая интерпретация коэффициентов уравнения регрессии связана с анализом рассматриваемой ситуации. Так, значение коэффициента при переменной Р (цена), равное –111,498 указывает на то, что в случае увеличения цены на одну единицу при прочих равных условиях, объём продаж Q в среднем сократится на 111 рублей. Более надёжным (практически достоверным, имеющим вероятность 0,95) будет утверждение о том, что уменьшение объёма продаж будет находиться в интервале от 63 до 159 рублей.
7. Для вычисления объёма продаж при цене единицы продукции 6 рублей и рекламных расходах 280 рублей следует воспользоваться режимом Predict dependent var. Результаты расчётов представлены в табл. 3.32.
Анализ этих результатов показывает что, при указанных выше значениях объясняющих переменных объём продаж составит в среднем 670 кг., при этом с вероятностью 0,95, т.е. практически достоверно можно ожидать, что среднее значение величины Q будет находиться в интервале от 634 до 706 кг.
Представим также упрощенный вариант отчета по лабораторной работы №2, но содержащий процедуру оптимизации продажной цены с целью максимизации выручки.
Лабораторная работа №2.