Лабораторная работа № 2 «Модель множественной линейной регрессии»




Некоторое предприятие ведёт продажу однородной сельскохозяйственной продукции. Руководство предприятия проводит изучение зависимости объёма продаж (Q) от выбранной цены (P). При этом одновременно предприятие проводит рекламную акцию и несёт некоторые расходы на рекламу(R). Данные[10]наблюдений приведены в табл. 3.24, где Q – объём продаж (кг.); P – цена одной единицы продукции (руб.);

R – расходы на рекламу (100 руб.)

Используя имеющиеся данные, требуется:

1. Найти зависимость объёма (Q) продаж от цены (P) и рекламных расходов (R).

2. Экономически обосновать знаки коэффициентов в построенных моделях.

3. Рассмотреть модель, учитывающую, что для расходов на рекламу существует «эффект насыщения», т.е. начиная с некоторого момента вложения в рекламу перестают приводить к увеличению объёма продаж. Рассмотреть зависимость вида .

4. Найти МНК-оценки коэффициентов множественной регрессии. Оцените значимость полученного уравнения в целом и значимость отдельных коэффициентов.

5. Оценить прогностические возможности полученного регрессионного уравнения, учитывая коэффициент детерминации.

6. Найти 95%-доверительные интервалы коэффициентов

 

 

Таблица 3.24

Исходные данные

 
 

7. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов множественной регрессии.

8. Найти объём продаж при цене единицы продукции 6 руб., и рекламных расходах 280 руб. Вычислить 95 % доверительный интервал для величины объёма продаж.

Отчёт по лабораторной работе № 2

1. Определим наличие статистической зависимости между переменными. Для этого вычислим корреляционную матрицу и описательные статистики, построим поля рассеяния заданных показателей табл. 3.25, 3.26, рис. 3.11).

 

Таблица 3.25

 
 

Матрица коэффициентов корреляции

 

Таблица 3.26

Расчет описательных статистик

 

 

2. Значимые коэффициенты корреляции свидетельствуют о том, что имеется статистическая связь между объёмом продаж Q и ценой единицы продукции P, а также между объёмом продаж Q и расходами на рекламу R. Причём, связь между объёмом продаж и ценой единицы продукции отрицательная, что означает, что с увеличением цены объём продаж уменьшается. Этот вывод не противоречит основным представлениям экономической теории и здравому смыслу.

Иначе обстоит дело с расходами на рекламу и объёмом продаж. Значимая отрицательная корреляционная связь показывает, что с увеличением расходов на рекламу объёмы продаж продукции падают. Это может свидетельствовать или об отрицательном эффекте рекламной акции (например, в результате неграмотной её организации), или о том, связь между рассматриваемыми переменными не является прямой, т.е. реклама влияет на результирующий признак опосредованно, через некоторые другие переменные.

 

 

Рис.3. 11. Поля рассеяния и гистограммы исходных признаков

 

Для более подробного исследования рассмотрим уравнение парной регрессии:

 

Таблица 3.27

 
 

Регрессионная модель зависимости объема продаж от затрат на рекламу

 

ОБЪЁМ_ПР = 877,0006 – 84,8295 РЕКЛ_ЗАТ, = 0,56383892

Все коэффициенты уравнения регрессии значимы на стандартном 5 %.уровне.

Анализ остатков построенного уравнения регрессии показывает, что более половины наблюдаемых значений находятся за пределами 95 % доверительного коридора (трубки). Это указывает на то, что, несмотря на значимость полученного уравнения, оно может быть улучшено за счёт введения в него дополнительных объясняющих переменных.

 

 

Рис. 3.12. График распределения остатков уравнения регрессии

 

Уравнение регрессионной зависимости между объёмом продаж и ценой хотя и является значимым (р — значение менее 0,0317), но всё же недостаточно хорошо воспроизводит качество зависимости ( = 0,23149631).

 


Таблица 3.28

Регрессионная модель зависимости объема продаж от цены товара

 
 

 

ОБЪЁМ_ПР = 1198,030 – 104,119 ЦЕНА, = 0,23149631

Проведённый предварительный анализ свидетельствует о необходимости использования более сложной модели, в частности, модели позволяющей одновременно учитывать влияние всей совокупности факторов.

Уравнение множественной регрессии, одновременно учитывающее оба фактора Q и R, имеет вид:

Таблица 3.29

Регрессионная модель зависимости объема продаж

 
 

от затрат на рекламуи цену товара

 

 

ОБЪЁМ_ПР = 1255,010 – 66,733*ЦЕНА - 75,867*РЕКЛ_ЗАТ,

= 0,65264

 

Это уравнение значимо (р — значение менее 0,00012) и оно на 65,26 % объясняет вариацию зависимой переменной Р. Однако, в этом уравнении знак перед переменой РЕКЛ_ЗАТ не соответствует ожиданиям —естественно было предположить, что увеличение рекламных расходов будет приводить к увеличению объёма продаж, т.е. знак перед переменной РЕКЛ_ЗАТ должен быть положительным.

3. В использовании рекламы существенным является т.н. «эффект насыщения», заключающийся в том, что при увеличивающемся уровне расходов каждый последующий рубль даёт меньшую отдачу, чем при начальном уровне расходов. Поэтому, с учётом сделанного замечания, в модель вводится переменная КВ_РЕКЛ, численно равная квадрату рекламных затрат. (Как известно, квадратичная функция обладает, при локальным максимумом). Предполагается, что новая переменная будет иметь в регрессионной модели отрицательный знак, если сделанные предположения имеют место.

Результаты расчёта коэффициентов уравнения регрессии подтверждают справедливость сделанных предположений.

 

Таблица 3.30

 
 

Множественная регрессионная модель

 

ОБЪЁМ_ПР = 963,718 – 111,498*ЦЕНА + 255,251*РЕКЛ_ЗАТ –43,238*КВ_РЕКЛ

(ср. кв. (131,7) (21,6) (63,4) (8,2)

откл. коэф.)

= 0,83357

4. Полученное уравнение регрессии является значимым и примерно на 87,4 % (т.к. коэффициент множественной детерминации = 0,87357) объясняет вариацию зависимой переменной. Все входящие в уравнение переменные значимы на уровне менее 1 %.

 

Таблица 3.31

 
 

Дисперсионный анализ уравнения регрессии

 

5. Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии определяются с учётом того, что число степеней свободы модели равняется , где — число наблюдений, — число объясняющих переменных модели, и 2,199. Значения ошибок (точнее - средних квадратичных отклонений) коэффициентов следует взять из таблицы результатов регрессионного анализа. Используя формулу

 

,

 

получим = (- 159,066; - 63,930).

Гипотезу о несущественном влиянии переменной Р (цены) на зависимую переменную Q (объём продаж) отвергаем, так как = 0 .

Аналогичные выводы можно сделать относительно других переменных, анализируя построенные доверительные интервалы. Так, : = 0 отвергаем, поскольку = (115,666; 394,836). К такому же выводу о значимости коэффициента можно придти на основании рассмотрения соответствующего доверительного интервала = (–61,219; –25,256).

Таблица 3.32

Расчёт прогнозного значения объёма продаж

при заданных цене и рекламных расходах

 

 

6. Экономическая интерпретация коэффициентов уравнения регрессии связана с анализом рассматриваемой ситуации. Так, значение коэффициента при переменной Р (цена), равное –111,498 указывает на то, что в случае увеличения цены на одну единицу при прочих равных условиях, объём продаж Q в среднем сократится на 111 рублей. Более надёжным (практически достоверным, имеющим вероятность 0,95) будет утверждение о том, что уменьшение объёма продаж будет находиться в интервале от 63 до 159 рублей.

7. Для вычисления объёма продаж при цене единицы продукции 6 рублей и рекламных расходах 280 рублей следует воспользоваться режимом Predict dependent var. Результаты расчётов представлены в табл. 3.32.

Анализ этих результатов показывает что, при указанных выше значениях объясняющих переменных объём продаж составит в среднем 670 кг., при этом с вероятностью 0,95, т.е. практически достоверно можно ожидать, что среднее значение величины Q будет находиться в интервале от 634 до 706 кг.

Представим также упрощенный вариант отчета по лабораторной работы №2, но содержащий процедуру оптимизации продажной цены с целью максимизации выручки.

Лабораторная работа №2.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-15 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: